Az 1925. november 28-án született Cucu, ahogy a nagymamája, majd később a szurkolók is becézték, Kispest munkásnegyedében nőtt fel. A család szegény volt, kifutófiúként járult hozzá megélhetésükhöz, s amikor csak tehette, legjobb barátjával, a szomszédban lakó Puskás Ferenccel rúgták a grundon a rongylabdát. Tehetségére hamar felfigyeltek, már tizenegy éves korában leigazolta a Kispesti Atlétikai Club, első felnőtt bajnoki mérkőzését 1943-ban játszotta a Vasas ellen. A második világháború végén katonaszökevény bátyjával bujkált, később a szovjetek akarták „malenkij robotra” vinni, de sikerült megszöknie.
A politikai változások miatt 1949-től Budapesti Honvéd néven szereplő Kispestben bontakozott ki tehetsége. Az együttes a hamarosan világverő magyar Aranycsapat gerincét alkotta, az 1950-es évek első felében túlzás nélkül a világ legjobb klubcsapatának számított, a magyar bajnokságot például 1952-ben veretlenül nyerte. Bozsik a klubhűség megtestesülése volt, soha nem játszott másik egyesületben: csaknem két évtized alatt 447 bajnoki mérkőzésen szerepelt, 33 gólt szerzett, és ötszörös magyar bajnok lett. Érdekesség, hogy a sportsajtóban Bozsik II. néven is említették, mert bátyja, az 1952-ben elhunyt Bozsik István egy ideig a Kispest csapatának kapusa volt.
Tökéletes labdakezelés, nagyszerű rúgótechnika, kivételes játékintelligencia, helyzetfelismerés és irányítóképesség jellemezte. Jobbfedezet posztjáról negyven-ötven méteres, mindig pontos, tért ölelő átadásokkal hozta helyzetbe társait, elsősorban barátját, Puskás Öcsit, akivel szavak nélkül is értették egymást. Fénykorában őt tartották a világ legjobb támadó fedezetének, ő volt az első klasszikus középpályás. Nem volt igazán gyors, de rendkívül jó helyezkedéssel, mozgékonyságával és lendületességével hozta zavarba az ellenfél védelmét.
Huszonkét éves korában került a világverő magyar válogatottba, 1947. augusztus 17-én a bolgárok ellen mutatkozott be. Az Aranycsapattal megnyerte az 1952-es, helsinki olimpiát, a döntőben a jugoszlávokat 2:0-ra legyőzve hozták el az aranyérmet társaival, 1952-ben ő lett az év játékosa. Emlékezetes gólt lőtt 1953. november 25-én az angoloknak a Wembley Stadionban játszott és 6:3-ra megnyert „évszázad mérkőzésén”. Ekkor jegyezte meg egy fanyar humorú újságíró, hogy „ez a képviselő megérdemelné, hogy miniszterelnök legyen” – Bozsik ugyanis ekkor parlamenti képviselő volt.
Az 1954-es, svájci világbajnokságon a toronymagasan esélyes magyar válogatott meglepetésre csak második lett, az NSZK elleni, 3:2-re elvesztett döntő a várt ünnep helyett nemzeti gyásznappá vált Magyarországon. Az 1956-os forradalom idején ő is részt vett a Honvéd illegális dél-amerikai túráján, amelynek végén a játékosok többsége úgy döntött, hogy külföldön folytatja pályafutását. Bozsik is kapott ajánlatot Spanyolországból, de hazajött, és tovább játszott a Honvédban, valamint a nemzeti tizenegyben. Tagja volt az 1958-as svédországi világbajnokságon tizedik helyen végzett válogatottnak, 1959-ben a Honvéddal megnyerte a Közép-európai Kupát.
A címeres meztől 1962-ben, harminchét évesen, az Uruguay elleni 1-1-es mérkőzésen búcsúzott, a válogatottban összesen 11 gólt szerzett. Magyarországon elsőként ő érte el a százszoros válogatottságot, sőt halála után két évtizeddel, 2000-ben 101-szeres válogatott lett: 1958-ban ugyanis egy Libanon elleni mérkőzésen is pályára lépett, amelyet akkor nem minősítettek hivatalos találkozónak. Rekordját Király Gábor állította be 2016-ban, majd meg is javította, és 108-szoros válogatottként fejezte be válogatottbeli pályafutását.
Visszavonulása után is „kirakatban maradt”: a Honvéd szakosztályvezetője volt, 1966-ban és 1967-ben edzőként 47 alkalommal ült a csapat kispadján. Egyetlen mérkőzésen, 1974-ben Bécsben a magyar válogatottat is irányította szövetségi kapitányként. Korai halálát szívelégtelenség okozta 1978. május 31-én.
