Miért tűnik nehéznek a matematika?

Tanárok és tanítványok az EMÉ-nél

Teljesen megtelt matematikusokkal, matematikatanárokkal az EME előadóterme augusztus 21-én, de volt ott informatikus, fizikus, csillagász is – szinte mindannyian Kolumbán tanár úr volt tanítványai és/vagy volt kollégái, barátai.

A résztvevőket Darvay Zsolt informatikus, a BBTE docense, a professzor úr egykori tanítványa és doktorandusza köszöntötte, felidézve, hogy a tanár úr érdeklődése más tudományterületekre is kiterjedt: már a 90-es évek végén a mesterséges intelligencia és operációkutatás kapcsolatára vonatkozó cikket ajánlott elolvasásra a matematikából doktoráló informatikus hallgatónak. 

Ezután az ünnepelt professzor tartott vetített képes előadást Miért tűnik nehéznek a matematika? címmel. Bevezetésként Szent-Györgyi Albert gondolatait emelte ki az iskola valódi célját illetően, ami nem más, mint a tudásvágy felébresztése, a tanulás és a munka örömének átélése, a hivatás megválasztása. A matematika oktatásával kapcsolatban kiemelte Pólya György matematikus módszertani kutatásait és köteteit, amelyek – véleménye szerint – a matematikatanárok kötelező olvasmányai közé kellene hogy tartozzanak. Hangsúlyozta, hogy a „magolással” megszerezhető gépies tudással szemben a matematikában, de más tantárgyak esetében is a diák által megfigyelt, felfedezett ismeretekből álló tudásnak van nagyobb értéke. A professzor szerint annak az oka, hogy a romániai oktatás nemzetközi összehasonlításban csak az elemi oktatás szintjén állja meg a helyét, többek között abban keresendő, hogy az általános-, illetve a középiskolai matematikatanításban nem teremtenek kapcsolatot a matematika és azon tantárgyak között, amelyekben a matematikát alkalmazzák, mint például a fizika, kémia, gazdaságtan. A professzor arra is kitért, hogy – mivel a gyerekek játékon keresztül tanulnak a legkönnyebben –, célszerű lenne a tanárképzést úgy átalakítani, hogy a hagyományos módszerek helyett a tanárok tudatosan alkalmazhassanak a gyermekek gondolkodásmódjához jobban igazodó eljárásokat.

Az előadás után Szenkovits Ferenc csillagász, a BBTE docense, a MatLap főszerkesztője közvetlen, baráti hangon idézte fel Kolumbán tanár úrral való sok évtizedes ismeretségüknek és szakmai kapcsolatuknak az állomásait, amelyek jól kirajzolták a professzor egyéniségét, szerteágazó érdeklődését és tevékenységét is. Szenkovits Ferenc középiskolás korában ismerte meg Kolumbán József nevét a Matematikai Lapok hasábjairól, amelynek a professzor több mint egy évtizeden keresztül főszerkesztője volt, és a mai napig részt vesz a szerkesztőség munkájában. Egyetemi oktatóként, tudományos kutatóként a közoktatásra is odafigyelt, ez soha nem volt másodlagos számára.

Szenkovits Ferenc diákként személyesen is megismerhette a tanár urat: „első éven a legnehezebb tárgyunk a matematikai analízis volt. Rengeteg tétel, bizonyítás, értelmezés, következtetés... Nehézsége ellenére érdekes volt, mert le tudta kötni a figyelmünket. Nemcsak megkaptuk szépen tálalva a matematikát, hanem együtt gondolkoztunk, minden tételt és bizonyítást a tanár úrral együtt kellett felfedeznünk. Ha követtük ezt az utat, akkor megtanultuk, hogy a matematikát így kell átélni, megszeretni, megtapasztalni, élni benne. Olyan alapot kaptunk, amit később biztosan tudtunk használni, nem volt gondunk az analízisre épülő matematikai tantárgyakkal. Ezt a tudást és hozzáállást a tanár úrnak köszönhetjük.” Felidézte még, hogy Kolumbán tanár úr nemcsak tanította a diákjait, hanem arra is időt szakított, hogy elbeszélgessen velük, emberként is megismerje őket. Erre jó alkalom volt egy-egy kirándulás. Persze, ilyenkor is sort kerített a tudomány népszerűsítésére – mindig ajánlott a diákjainak szakkönyveket, tágította az érdeklődési körüket.

Szenkovits Ferenc hangsúlyozta, hogy Kolumbán tanár úrnak nagyon jelentős szerepe volt a magyar nyelvű matematikaoktatásban: ötvenöt magyar matematikus nemzedék nőtt fel a keze alatt. Emlékeztetett rá, hogy a múlt század első évtizedeiben a kolozsvári matematikaiskola világhírű volt. Ezt olyan kiváló matematikusok munkásságának köszönhette, mint Fejér Lipót, Riesz Frigyes, Haár Alfréd, és mások . Kolumbán professzor egyike volt azoknak, akik újraélesztették a kolozsvári egyetemen a magyar egyetemi tanárok tudományos munkásságát. Saját kutatásai mellett tizenöt doktorandusz kutatásait irányította, akik közül többen Erdély kiemelkedő egyetemein vagy külföldi felsőoktatási intézményekben tanítanak, és néhányan már szintén doktorátusvezetők.

Kolumbán Józsefet, a kutatót így jellemezte: „A kutatásban nagyon változatos témák iránt érdeklődött. A publikációi is azt mutatják, hogy mindig próbált újat tanulni. A doktoranduszaival is újabb és újabb témákat közelített meg, vezetett be. Egyik alapelve az volt, hogy a járt utat a járatlanért mindig hagyd el. Ne a kitaposott ösvényen járj, mert azon csak ismert helyekre érsz. A tanár úr ezt a természetjárásban is követi.” Később, amellett, hogy kollégák lettek, a tehetséggondozás, a közösségépítés mindkettőjüknek szívügye volt és maradt. Hosszú évekig együttműködtek például a Radó Ferenc Matematikaművelő Társaság megalapítása után annak munkájában, vezetésében. A Farkas Gyula-díjat – amit a mai napig kiosztanak Erdély legjobb matematikatanárainak a munkásságuk értékeléseként –, a tanár úr javaslatára hozták létre. 

Kása Zoltán, a Sapientia EMTE emeritus professzora – aki szintén tanítványa volt Kolumbán tanár úrnak –, további fontos adatokat ismertetett: „Kolumbán József tudományos teljesítményének szintjét mi sem bizonyítja jobban, mint az a tény, hogy a Magyar Tudományos Akadémia tagjai közé választották 2001-ben, és kapott jó néhány díjat: 2007-ben a Magyar Operációkutatási Társaság Egerváry Jenő-emlékplakettjét, 2017-ben az Erdélyi Múzeum-Egyesület Apáthy István-díját, 2018-ban a Kolozsvári Akadémiai Bizottság részéről a Tudomány Erdélyi Mestere díját. 2007-ben szülővárosa, Gyergyószentmiklós díszpolgárává avatta.” Kolumbán József tudományos dolgozatainak száma meghaladja a százat, cikkeire pedig több mint háromszáz alkalommal hivatkoztak más matematikusok a világ különböző pontjain. A hivatkozások száma a tudósok ismertségének és elismertségének egyik fokmérője. Végezetül Kása Zoltán a Sapientiás kollégák nevében is köszöntötte Kolumbán professzor urat. 

Bitay Enikő, az EME elnöke az egyesület és a saját nevében köszöntötte Kolumbán Józsefet: „(...) E jeles évforduló alkalmat ad arra, hogy visszatekintsünk a gazdag és sokrétű életműre, amelyet ön matematikusként, kutatóként, oktatóként és tudományszervezőként felépített. Munkássága nemcsak a magyar tudományos közösséget gazdagította, hanem nemzetközi szinten is maradandó értéket teremtett. Tanítványainak, kollégáinak és a teljes tudományos közösségnek példát mutatott a tanulás iránti elkötelezettsége terén. Az EME különösen hálás azért a szerepért, amelyet ön vállalt és betöltött az egyesületünk életében. Tevékenységével jelentősen hozzájárult az erdélyi magyar tudományosság és a kultúra megőrzéséhez és továbbadásához. (…) Nemcsak a matematika érdekelte: technikatörténeti kutatásainkat is figyelemmel kísérte, gyakran ellátott minket tanáccsal, és azt éreztük, hogy nemcsak a tudás átadása , a szakember van a háttérben, hanem egy igaz barát is.” 

A közönség soraiból Németh Sándor matematikus, volt kolléga és jóbarát egészítette ki az ünnepeltről alkotott képet: „Példaképem volt, bár nem volt tanárom az egyetemi rendszer szerint, de közös kutatószemináriumban dolgoztunk, ahol Kolumbán József előadásai emblematikusak voltak. Vártuk őket, és nagyon sokat tanultunk belőle, nemcsak én, hanem az összes kollégám. Mindnyájan tudtuk, hogy nagyon lényeges dolgokra világít rá, továbbgondolja, amit előad. Ez jellemző volt rá.”

Kolozsvári akadémikusok között

A Magyar Tudományos Akadémia kolozsvári külső tagjai, vagyis a KAB testületének, valamint Matematikai, informatikai és csillagászati szakbizottságának tagjai szeptember 16-án találkoztak, hogy Kolumbán József professzor urat felköszöntsék. A résztvevőket Nagy László akadémikus, a KAB elnöke üdvözölte, aki a matematika iránti érdeklődése révén szintén már középiskolás kora óta ismerte Kolumbán József nevét. Ezután Szántó Csaba, a BBTE Magyar Matematika és Informatika Intézet egyetemi tanára elevenítette fel a professzor nagyon szép, gazdag életpályájának legfontosabb állomásait, eredményeit, valamint közéleti tevékenységét.

Kása Zoltán humorosan köszöntötte az ünnepeltet néhány anekdotával és egy ismeretlen költőnek a professzorról írott versével: „Kilencven év – gazdagodó idő, / tudásnak kútja, fénylő tanító. (…) Diákok emléke száll köréd ma, / a képletek rendje tiszta szólam. / A tudományban otthon voltál mindig, / s példát mutattál: a szellem mit bír. / Akadémikus léted ragyogása / hosszú pálya bölcs koronája.” Utólag kiderült: a „költő” a mesterséges intelligencia volt.

A Radó Ferenc Matematikaművelő Társaság és a MatLap nevében Szenkovits Ferenc szólalt fel. A MatLap főszerkesztője elmondta, hogy a tanár urat felköszöntötték a lap szeptemberi számában is. Azzal lepték meg, hogy közölték egy megoldását, amelyet fiatal adjunktusként dolgozott ki 1971-ben a Gazeta Matematică lap egyik, 1901-ben kitűzött feladatának korabeli, utólag hibásnak bizonyult megoldása helyett. 

Soós Anna, a BBTE Matematika és Informatika Karának docense az egyetem vezetősége nevében köszöntötte a professzort, és a Szemelvények a 150 éve alapított kolozsvári egyetem Matematika és Természettudomány Karának történetéből című kötetet ajándékozta neki, amelyet Szenkovits Ferenccel közösen szerkesztettek. A matematika kar történetéről szóló fejezet megírásában nagy segítségükre voltak Kolumbán tanár úr írásai erről a témáról.

A köszöntéseket követően Kolumbán József akadémikus a résztvevők kérdéseire válaszolt: előbb felvázolta, hogyan alakult a kolozsvári magyar egyetem sorsa a történelmi események hatására a létesítésétől a felszámolásáig, majd kutatói pályája kezdetéről beszélt, amely éppen az 1950-es évek végére, az egyetemegyesítés idejére esett. Az eseményt ünnepi koccintás és állófogadás zárta.

Találkozások a matematikával

A tanár úrral előadása után a matematika tanulásának és tanításának titkairól, nehézségeiről beszélgettünk.

– Milyen emlékeket őriz iskoláskorából a számok világával kapcsolatban? 

– Amikor első osztályos voltam, egyik nap a negyedikesek tanítója beterelte hozzánk néhány tanítványát: a számtankérdésükre, amelyre ők nem tudták a választ, én könnyedén feleltem. Ekkor kaptam az első nyilvános dicséretet a matematikával kapcsolatban. A gimnázium első két évében unalmasak voltak számomra a matekórák, még az is előfordult néha, hogy ellógtam róluk... Hetedikben már más iskolában, más tanár – az áldott emlékű Péter Árpád – tanította a matematikát, bár tanítói diplomával, mégis sokkal érdekesebben. A mértanórái maradandó élményt nyújtottak számomra.

Az akkori oktatási rendszer szerint aki 7. osztály után tovább akart tanulni, felvételiznie kellett a líceumba. Ezt én is megtettem, és bejutottam a líceumba a szülővárosomban, Gyergyószentmiklóson, egykori tanítóm, Orosz Kálmán javaslatára azonban a csíkszeredai tanítóképzőt választottam. A tanítóm segített átkerülnöm a líceumból a tanítóképzőbe, és ezzel jelentősen befolyásolta az életemet.

– Milyen élmények érték a tanítóképzőben a matematikát illetően?

– A tanítóképzőben másfél évig elég kiábrándítóan tanították ezt a tantárgyat, szerencsére azután másik tanárnőt kaptunk, akit sohasem felejtek el. Hitter Ibolyának hívták, kolozsvári születésű, rendkívül felkészült volt, alapos matematikai tudással és jó pedagógiai érzékkel rendelkezett. Ő ébresztette fel bennem a matematika iránti érdeklődést. Mi több, meghatározta az életemet, ugyanis a harmadik év végén – a tanítóképző négyéves volt –, azt mondta, hogy sajnos, nem tud engem tovább tanítani, mert kinevezték Kolozsvárra a Bolyai Egyetemre tanársegédnek, de ígérjem meg neki, hogy miután elvégzem a tanítóképzőt, nem megyek tanítónak, hanem felvételizek az egyetemre. Én addig ilyesmire egyáltalán nem gondoltam. A tanárnőnek köszönhetem, hogy felvetődött a kérdés, hogy egyetemre járjak.

– Milyen volt a találkozása a felsőbb matematikával?

– Bekerülve az egyetemre nem tudtam semmit a líceumi matematikából – amit pedig joggal elvártak –, mivel a tanítóképzőben számos fejezetét (például trigonometriát) nem tanították. Viszont a hátrányos helyzetek sokszor előnyömre fordultak. Hamar beláttam, hogy hiányos matematikai ismereteimet nem tudom a középiskolai tankönyveket lapozgatva pótolni. Rájöttem, hogy az egész trigonometria két képleten alapszik, és ezekből minden más képlet levezethető. Attól kezdve rendszeresen, amikor szükségem volt valamilyen képletre, nem kérdeztem meg senkitől, ehelyett addig nem hagytam magam, amíg le nem tudtam vezetni. Az alapjaim hiányosságai miatt az egyetemi tananyag esetén is más tanulási módszert alkalmaztam, mint az évfolyamtársaim. Ők úgy jártak el, mint a középiskolában: előbb az elméletet tanulták meg, majd azt próbálták alkalmazni. Én éppen ellenkező irányból indultam: nem az előadásokkal foglalkoztam, hanem a szemináriumok alatt igyekeztem minél aktívabb lenni. Először a gyakorlatokat, példákat próbáltam megérteni, csak azután az elméletet, és nagyon komolyan vettem a házi feladatokat. Két év múlva a matematikai tantárgyakból a legjobbak közé tartoztam.

Szerencsésnek mondhatom magam, mivel mindig akadt egy-egy olyan személy, aki megmutatta a jó utat a tanulás terén, javasolt, irányt adott a további teendőimnek: a gimnáziumi évek végén a tanítóm, a tanítóképzőben Hitter tanárnő. Az egyetemen megismétlődött velem, hogy valaki felfigyelt rám, és új távlatokat nyitott előttem: negyedév elején behívatott a dékán, Kiss Árpád, és azt mondta, hogy miután elvégzem az egyetemet, ne menjek tanárnak, hanem iratkozzam be a Victor Babeș Egyetem kutatói szakára, ami a Bolyain nem létezett. Ezt meg is tettem, és sok különbözeti, illetve rendes vizsga letétele után megkaptam a kutatómatematikusi diplomámat. Ezzel felvettek volna a Bolyai Egyetemre gyakornoknak, de közben a tanügyminisztériumban már készülődtek a Bolyai és a Victor Babeș Egyetem egyesítésére. Valószínűleg emiatt leállították a kinevezéseket, ezért csak fél évvel később, versenyvizsgával kerülhettem be az akkor még létező Bolyai Egyetemre. 1959. február 1-jétől alkalmaztak, az egyetemegyesítés 1959 őszén történt. Az új tanévtől már a Babeș–Bolyai Tudományegyetemen dolgoztam.

– Kik voltak a példaképei, mentorai, kiktől tanult a legtöbbet szakmailag és/vagy emberileg?

– Hitter Ibolya tanárnő kiemelt abból a középszerűségből, ami a tanítóképzői matematikaoktatásra volt jellemző. Az egyetemen Orbán Béla egykori tanársegédnek köszönhetem, hogy megismertem az elemi geometria szépségeit, ez ez egész életemre nyomot hagyott bennem.. Első éven Radó Ferenc, a Bolyai-egyetem egyik legjobb tanára tartotta az analízis-előadásokat, de sajnos, az én középiskolai képzettségem nem volt megfelelő ahhoz, hogy ezeket teljesen átlássam, felfogjam. A tanársegéde, Balázs Márton által vezetett szemináriumok segítettek az analízisfeladatok megértésében, megoldásában. Balázs Mártonnal később barátok lettünk és három, egymással összefüggő könyvet írtunk. Éveken keresztül ezekből tanították az analízis tantárgyat, sőt a román tagozaton is átvették.

1960-ban Popoviciu Tiberiu professzor tanársegédje lettem, az általa vezetett Matematikai Analízis Tanszéken dolgoztam. Kilenc évig bármilyen kurzust tartott, én vezettem a megfelelő szemináriumot. Az akkori szokásnak megfelelően részt vettem az előadásain, és sokat tanultam tőle. Született tanáregyéniség volt. Amit elmagyarázott, és az a mód, ahogy előadott, nagy hatással volt rám. Az ő irányítása alatt védtem meg a doktori disszertációmat 1968-ban.

– Tudjuk, hogy a fia, ifj. Kolumbán József is matematikus. Hatott-e rá az édesapja példája, kellett-e őt ösztönözni, vagy magától választotta ezt az életpályát?

– Erről inkább őt kellene megkérdezni. Viccesen fogalmazva azt mondhatnám, azért lett matematikus, mert egyáltalán nem tanítottam matematikára. Egyszer felkerestem az iskolában a matematikatanárát, mert feltűnt, hogy soha nem old otthon matek házifeladatot. Akkor derült ki, hogy az iskolában, órák alatt írja meg ezeket... De nem azért, mert a teheneket kellett őriznie napközben, mint nekem iskolás koromban... Komolyra fordítva a szót: a fiam matematikához való tehetsége már kisiskolás korában megmutatkozott, szívesen foglalkozott a matematikával, könnyedén elsajátította az ismereteket, versenyeken vett részt, sikeresen. Matematikus akart lenni. Kolozsvári és párizsi egyetemi tanulmányai után a lipcsei egyetemen folytatott kutatómunkát. Más szakterületet választott, mint az enyém, de szintén olyat, amelynek igen komoly gyakorlati alkalmazásai vannak. Jelenleg a Budapesti Műszaki Egyetem docense.

Nehéz-e a matematika?

– Nemrég új tanév kezdődött, sok tekintetben a régi kerékvágásban, és sajnos, az örök gonddal: nehéz a matematika. Valóban nehéz, vagy csak annak tűnik? Miért tűnhet nehéznek a matematika a mindenkori tanulóknak?

– A „nehéz a matematika” nevű probléma sokrétű. A panaszok nagy része a tananyagra vonatkozik, arra, hogy túl sok, és felesleges ismereteket tartalmaz. A tananyag kiválasztására hosszú távon hatott egy matematikatörténeti mozzanat. A 20. század elején francia tudósok egy csoportja a matematika újkori szintézisét kívánta megvalósítani, egységes fogalmakkal és módszerekkel rendelkező tudományként, axiomatikusan tárgyalva (ahogy az ókori görög matematikus, Euklidész tette a mértannal az Elemek című munkájában). Könyveiket (amelyeket Nicolas Bourbaki szerzői álnéven adtak ki) először Franciaországban, később máshol is használták az egyetemi oktatásban. Amikor az 1960-as években a szemléletmódjuk és egyes fogalmaik átszivárogtak az egyetemekről az iskolai oktatásba, világszerte „új matematikáról” kezdtek beszélni. Hiába tiltakoztak neves matematikusok (Pólya György, V. I. Arnold, és sokan mások) az iskolába való bevezetése ellen, a tanterveket és a tankönyveket újraírták ebben a szellemben. Romániában és sok más európai országban az „új matematika” hatásai a mai napig érződnek.

A francia tudóscsoport munkájának szellemében összeállított tantervek az új fogalmak, ismeretek bevezetésénél több évtizede logikai szempontból egyre pontosabb felépítést próbálnak követni. A tankönyvek, amelyeket ezen tantervek alapján írtak, az értelmezés–tétel–bizonyítás–alkalmazás séma szerint, axiomatikusan tárgyalják a matematikát, ugyanakkor nem fordítanak kellő figyelmet a gyermeklélektan alapelveire, a matematikatörténet tanulságaira és a természettudományok szerepére a matematika fejlődése során.

A francia tudósok elvei a tudományról és az iskoláról hamis képet alakítottak ki. Ez kihatott a módszerekre is. A felfogásukban minden ismeret bevezetése deduktívan zajlik – az általánosból a sajátos felé, kész ismeretek átadásával –, míg a tanulás természetes módja az induktív megközelítés lenne – sajátos esetek megfigyelésével aktívan következtetve, általánosítva.

Nagy problémát jelent a tudás értelmezése is: sajnos, nagyon sokan tudás alatt a lexikális tudást értik, azaz fogalmak, képletek gépies, gondolkodás nélküli elfogadását és memorizálását. Pólya György A problémamegoldás iskolája című, nagysikerű módszertani könyvében ezt mechanikus tudásnak nevezi. Pólya szerint a szervesen összefüggő matematikatudáshoz semmiképp nem elegendő, ha kívülről tudjuk a képletet, vagy a tételnek csak a bizonyítását értjük, magát a tétel jelentőségét nem. A legmagasabb, Pólya által intuitív tudásnak nevezett szint akkor érhető el, ha nem gépiesen tanulunk, ha számpéldák által meggyőződünk az állítások helyességéről, a bizonyítás megértésével egyidőben a tételt be tudjuk illeszteni előző ismereteinkbe, és alkalmazni is tudjuk.

Nehezítik a matematika tanulását azok a tankönyvek is, amelyeket nem a diákok tudás-, illetve gondolkodási szintjéhez igazodóan írtak meg. Sajnos, a legtöbb romániai matematika-tankönyv ilyen. Ezek használatát a tanárok – jogosan – nem is várják el diákjaiktól. Azonban jó tankönyvet írni csak akkor tud valaki, ha a magas szintű matematikai tudás mellett alapos módszertani és pedagógiai ismeretekkel is fel van vértezve, de legfőképpen, ha fontos számára, hogy a gyerekek mit és hogyan fedeznek fel, sajátítanak el a matematika csodálatos világából. Mindezen túl, olyan tankönyvet nem lehet írni, ami helyettesíteni tudná a tanárt.

Gondok vannak a tudás felmérését illetően is. Sajnos, a tanév közbeni felmérések és a szakaszzáró vizsgák a mechanikusan megtanult leckék gépies visszaidézésére épülnek. Az ilyen „tudás” elegendő lehet az átmenő osztályzat megszerzéséhez, de nem sok haszna van a valós életben. Érdemes megfontolni Pólya György gondolatait: „...a tanároknak jól meg kell érteniük a tudás különböző fokozatait. A tanterv előírja, hogy a tanárnak a különboző osztályban a matematika mely fejezeteit kell tanítania. De milyen tudásszintet kell a diáknak elérnie? Elegendő-e a mechanikus tudás? Vagy igyekezzék a tanár intuitív szinthez vezetni a diákokat? Két különböző célról van szó. Milyen nagy különbséget jelent a tanárnak is, a diáknak is, hogy mire törekszik. (...) Hogyan hozhatjuk a diákot erre vagy arra a szintre? Hogyan ellenőrizhetjük, hogy vajon elérte-e valamelyik szintet? Felelnünk az intuitív szintet illető kérdésre a legnehezebb.”

– Hogyan kell helyesen tanulni a matematikát? Milyen a jó tanulási módszer?

– A matematikát nem tanítani és nem tanulni kell a szó klasszikus értelmében, hanem művelni – feladatmegoldásokon keresztül. A matematikát játszva kellene felfedezniük a diákoknak, mivel ebből a tantárgyból azt értjük meg igazán, amire mi magunk jövünk rá. Amikor önállóan utánajárunk a dolgok miértjének, ha sikerül megfejtenünk a rejtélyt, az új ismeret jobban rögzül. Amit magunktól tanulunk meg, sokkal könnyebben beépül az addigi tudásunkba, és megerősíti azt.

– Miben látja a matematika tanításának, illetve tanulásának legnagyobb kihívásait?

– Sürgősen szemléletváltásra lenne szükség az oktatási rendszer minden résztvevője részéről ahhoz, hogy a matematikát a diákok ne felesleges ismeretek halmazának lássák, tanulását ne tehernek érezzék, hanem szellemük és lelkük egyik lehetséges edzési eszközeként, a természettudományok világába vezető ajtó kulcsaként, egyre jobban digitalizálódó világunk alapjaként tekintsenek rá.

A tanároknak figyelembe kell venniük, hogy a gyermekek másképp gondolkodnak, mint a felnőttek, és elsősorban ehhez kellene igazodniuk. A gyermekek azt kedvelik, ami konkrét formában kapcsolatos az életükkel, és akkor tanulnak meg bármit, ha van valamilyen intuitív, érzékek általi tapasztalatuk az illető dologról. Másrészt a gyermekeket a játék által éri a legtöbb, testi, lelki, szellemi fejlődésüket elősegítő élmény. Élmény nélkül nincs tanulás. Ahhoz, hogy a gyerekek a matematika tanulását élményekre építhessék, a tanítóknak, tanároknak rá kell hangolódniuk a matematikai ismeretek játékos bemutatására. Ezzel jobban segíthetik a gyermekek saját, önálló megfigyeléseit, megoldási ötleteit, mint bármely más módszerrel. Nehezebb felfedeztetően, játékosan tanítani, helyesebben: a gyerekek tanulását irányítani, mint frontálisan, az egész osztály részére egységesen „leadni” az axiomatikusan és deduktívan felépített tananyagot, majd ezt szóról szóra abban a formában visszakérni tőlük. A frontális leckeelőadás nem nyújt élményt a gyerekeknek, ezért túlságosan sok figyelmet sem fordítanak rá.

– Mit tanácsolna a tanulóknak, a szüleiknek, a tanároknak: hogyan „szelídítsék meg” közös erővel a matematikát?

– Ha a matematikát játékként fogjuk fel, amelynek megvannak a szabályai, akkor megértjük, hogy a szabályok ismerete nélkül nem tudunk elkezdeni játszani, ugyanakkor ahhoz, hogy minél több esélyünk legyen nyerni a játékban, sokszor és jó taktikával kell játszanunk. Csak a kitartó ismétlés, gyakorlás által válhatunk képesekké az egyes szabályokat kreatívan kombinálva önállóan alkalmazni. A matematikát idegen nyelvhez is hasonlíthatjuk, amelyben először szavakat tanulunk, azokból egyszerű, majd hosszabb mondatokat illesztünk össze, ameddig eljutunk oda, hogy folyékonyan tudjuk kifejezni magunkat szóban és írásban. Sem a játékos tapasztalata, sem a nyelvtudás nem egyetlen nap alatt szerezhető meg, csak türelemmel, jókedvvel és rendszeres munkával. Ugyanez érvényes a matematikára.

– Hogyan lehetne a matematikát úgy tanítani, hogy a gyermekek örömüket leljék benne?

– A gyermekekben már óvodáskoruktól kezdve ki lehet alakítani a matematikához való pozitív viszonyulást. Ehhez egyrészt az szükséges, hogy megismerkedjenek a matematika szépségeivel, ami megjelenik például a természetben, a mintákban, a rendezettségben. Az is közelebb hozhatja a tanulókhoz a matematikát, ha minél több olyan feladatot kapnak, amelyekből észreveszik, hogy a mindennapi életükben lépten-nyomon találkozhatnak a számokkal, a számolással, méréssel. Fontos tudatosítani a diákokban, hogy... 

...a matematika nem csupán önálló tudomány, hanem más tudományok segítője, az emberiség kulturális örökségének része, gondolkodásmód, alkotó tevékenység.

Ahhoz, hogy a matematikával való foglalkozás örömforrás lehessen a tanulók számára, nagyon fontos a sikerélmény.

Valójában enélkül a gyermek nem szerethet meg egyetlen tantárgyat, tevékenységet (focit, zenlést, bármi egyebet) sem. Életkortól függetlenül a siker élménye tudja a legjobban motiválni az embert arra, hogy tovább és tovább próbálkozzon, dolgozzon. A nevelők egyik legfontosabb feladata gondoskodni arról, hogy a gyermeknek legyenek sikerélményei. A tanároknak úgy kell alakítaniuk a tanítást, hogy a szerényebb matematikai tehetségű gyermekek önbizalmát is állandóan erősítsék. Rendkívül fontos, hogy a gyermek tudja magának bebizonyítani, hogy ő képes valamire. Komoly és hosszú távú káros lélektani következményei lehetnek annak, ha a sikerélmény elmarad.

Gyakran halljuk a matematikatanulásban tapasztalt kudarcok esetén, hogy a szülő úgy tartja gyermekéről (a gyermek is saját magáról), hogy nem reál beállítottságú. Kétségtelen, hogy létezik matematikai tehetség, és akinek több van belőle, az könnyebben tanulja a matematikát. Ennek ellenére állítom, hogy ha lassabban is, de minden normális szellemi képességű gyermeknek sikerülhet megbarátkoznia a matematikával és legalább átlagos szintű jártasságot szereznie benne. A matematika oktatásánál sorsdöntő az, ahogyan irányítjuk a gyermeket. Aki alapos szakmai felkészültséggel rendelkezik, empátiával és türelemmel foglalkozik a gyerekekkel, érti szellemi fejlődésük sajátosságait, képes motiválni őket, sikerélményeiket gyarapítani, önbizalmukat növelni, annak nyert ügye van: a gyermek szívesen üli végig a matekórát, rendszeresen elvégzi a házi feldatát, lelkesen old akár pluszfeladatokat is, és egyszer csak azon kapja magát, hogy szereti a matematikát.

– Napjainkban minden matematikai fogalom, tétel, képlet, számítási módszer és bizonyítás megtalálható az interneten. Minek kell a gyerekeket ezzel „gyötörni”? Mi a matematikaoktatás célja?

– Az emberek többsége azt feleli , hogy a gondolkozásra nevelés. Helyesebb volna, ha az oktatás fő céljának az adott tantárgy témakörében történő alkotásra nevelést tekintenénk. Az alkotáshoz célratörő gondolkodásra van szükség. Például a matematikában alkotásnak számít (magas szinten is) valamely feladat megoldása. A matematika oktatásával nemcsak a gondolkodásra nevelésre kell törekednünk, hanem olyan matematikai ismeretek átadására is, amelyek felhasználásával a gyerekek képesek bizonyos feladatokat megoldani – nemcsak matematikai jellegűeket, hanem a mindennapi életben előforduló, gyakorlati problémákat is. Ha fejlesztjük a tanulók kreativitását, azzal erősítjük az önbizalmukat, a kritikai érzéküket, kezdeményezőkészségüket. Ezen lélektani sajátosságok nélkül nem lehet eredményesen matematikát tanulni. Sajnos, ezen készségek fejlesztése nem jellemző a romániai matematikaoktatásra.

– Ha ön lenne a tanügyminiszter, milyen változtatásokat vezetne be a matematikatanítás terén a középiskolában, illetve az egyetemen?

– A romániai oktatási rendszerrel az a legnagyobb gond, hogy az egyes összetevőin – a tanárképzés, a tantervek, tankönyvek, vizsgakövetelmények – mindig csak sorra, rendre próbáltak módosítgatni, holott a rendszert a maga egészében, az alapjaitól kellene megváltoztatni, mivel a részproblémák mind összefüggnek és kölcsönösen hatnak egymásra, mind pozitív, mind negatív irányban.

Az oktatási rendszer egy másik problémája a magas fokú központosítás. Az iskoláknak, azon belül a tanároknak önálló döntési lehetőséget kellene biztosítani, hogy diákjaik sajátos igényeit figyelembe véve minél hatékonyabban segíthessék őket képességeik kibontakoztatásában.

A tanárképzésben több figyelmet kellene fordítani arra, hogy a leendő tanárok nagyobb jártasságra tegyenek szert a gyermeklélektanban, ismerjék a gyermeki gondolkodás sajátosságait, fejlődési szakaszait (lásd Jean Piaget svájci pszichológus erre vonatkozó elméletét).

Szükség volna még olyan kettős szakok újraindítására is, mint például a matematika–fizika, fizika–kémia, mivel a matematika és ezek a reál tárgyak kéz a kézben fejlődtek az évszázadok során, egyik a másikat segítve.

Megfontolandónak tartom: oktatás, tanítás, nevelés – egyenértékű fogalmak? Ha oktatunk – tanítunk? Ha tanítunk – nevelünk? Az oktatás semmiképp nem jelenthet kioktatást. A felsőbbrendű ember benyomását keltő tanár inkább rombolja, mint építi a diáknak az illető tantárgyhoz való hozzáállását, és a diák lelkivilágát is. A tanításba bele kell férnie a diák kérdéseinek, ötleteinek. A tanár is tanulhat a diáktól. A nevelés elsőbbségét hangsúlyoznám az oktatással szemben. Nevelni kell. Saját példával, együttcselekvéssel. 

– E jeles évfordulón szívből kívánjuk, hogy Isten áldása kísérje továbbra is életét és munkáját, adjon önnek jó egészséget, békességet és örömteli életet a szerettei, barátai és a munkatársai körében. Az Isten éltesse sokáig! 

– Köszönöm szépen. Minél több sikerélményt kívánok a diákoknak és tanáraiknak a matematikában és az életben!